IL DISEGNO SPERIMENTALE:

CAMPIONAMENTO, PROGRAMMAZIONE DELL’ESPERIMENTO E POTENZA

 

 

  

23.10.  IL DISEGNO SPERIMENTALE FATTORIALE SEMPLICE (DUE FATTORI CON INTERAZIONE): CALCOLO DELLA POTENZA A POSTERIORI

 

 

Quando vuole analizzare un esperimento con due o più fattori a vari livelli, spesso il ricercatore è interessato a valutare anche l’effetto della loro combinazione, chiamata interazione, con un termine tecnico. Ad esempio, se intende valutare gli effetti di due o più farmaci (fattore sperimentale) eliminando gli effetti dell’età e del sesso (fattori sub-sperimentali) può essere interessato a valutare anche se il farmaco mediamente migliore è tale per tutte le età e entrambi i sessi, oppure se per qualche età o per un sesso il farmaco che fornisce le risposte migliori sia differente. Data la ricaduta medica e commerciale di tale risposte, spesso l’interazione rappresenta lo scopo più importante di una analisi statistica.

Il caso più semplice di interazione, che permette una interpretazione chiara e non equivoca dei risultati, è presente nel disegno fattoriale a due fattori con repliche

 

 

 

Ad esso si limita l’illustrazione dei metodi, come già nei capitoli dedicati all’analisi della varianza.

Ricordando che occorrono almeno due repliche per casella e assumendo di utilizzare il caso più semplice di un numero di replicazioni costante in ogni casella, si ipotizzi un disegno sperimentale rappresentato nella tabella precedente con

- 4 livelli nei trattamenti (A, B, C, D):  = 4

- 3 livello nei blocchi (I, II,III):  = 3

- 2 repliche per ogni combinazione blocco x trattamento:  = 2

 

Il calcolo del parametro  è differente se ci si riferisce alla significatività

I -  della differenza tra le medie dei trattamenti, detto effetto principale A,

II -  della differenza tra le medie dei blocchi, detto effetto principale B,

III - dell’interazione AB.

 

I -  Per l’effetto principale A la formula del parametro  è

 

 con

- 

- 

-   , cioè gli scarti tra la media vera di ciascun livello del trattamento e le media vera generale, che è anche quella di tutti i trattamenti.

 

Tale formula per il calcolo di  può essere semplificata, come nei disegni sperimentali precedenti, sulla base d’ipotesi alternativa H₁:

1)  se si considera la differenza massima tra una media e tutte le altre, che sono tra loro uguali, si utilizza la formula

 

2)  se le  medie dei trattamenti sono tutte tra loro differenti e si considera la differenza reale esistente tra la media minore e la media maggiore,

si utilizza la formula

 

II -  Per l’effetto principale B la formula del parametro  è

 

 con

- 

- 

-   , cioè gli scarti tra la media vera di ciascun livello del blocco e le media vera generale.

 

Tale formula per il calcolo di  può essere semplificata, come nei disegni sperimentali precedenti, sulla base d’ipotesi alternativa H₁:

1)  se si considera la differenza massima tra una media e tutte le altre, che sono tra loro uguali, si utilizza la formula

 

2)  se le  medie dei trattamenti sono tutte tra loro differenti e si considera la differenza reale esistente tra la media minore e la media maggiore,

si utilizza la formula

 

III - Per l’interazione AB la formula del parametro  è

 

 con

- 

- 

-   

Come ampiamente descritto nel capitolo relativo all’interazione tra due fattori, la quantità  indica l’effetto dell’interazione in ogni casella, che è appunto stimata  dagli scarti tra la media vera di ciascuna casella () e la media attesa  (), a sua volta calcolata considerando la media totale vera (), la media vera del trattamento () e la media vera del blocco().

Nell’ipotesi H₁ che una delle interazioni sia uguale a , tale formula per il calcolo di  può essere semplificata

 

 

ESEMPIO 1  (POTENZA PER I TRATTAMENTI) Nel disegno sperimentale presentato, valutare la potenza del test per i trattamenti per   e  a = 0.05  e con le dimensioni   = 4,    = 3,    = 2 come risulta dalla tabella presentata.

 

Risposta. Se nell’ipotesi H₁ si prende in considerazione la differenza reale esistente tra la media minore e la media maggiore

 

 il valore di  risulta uguale a 1,73.

Occorre poi considerare che  nell’analisi della varianza i gradi di libertà saranno

-  Devianza totale:                          df = 23

- Devianza tra media di caselle :    df = 11

- Devianza tra trattamenti  A          df =   3

- Devianza tra blocchi  B                df =   2

- Devianza di interazione AB         df =   6

- Devianza d’errore                         df =  12

Il grafico della potenza con i parametri

= 3;     = 12;     = 0.05;     = 1,73

 fornisce l’indicazione  = 0,67.

ESEMPIO 2  (POTENZA PER I BLOCCHI) Nel disegno sperimentale presentato, valutare la potenza del test per i blocchi per   e  a = 0.05  e con le dimensioni   = 4,    = 3,    = 2 come risulta dalla tabella presentata.

 

Risposta. Se nell’ipotesi H₁ si prende in considerazione la differenza reale esistente tra la media minore e la media maggiore

 

il valore di  risulta uguale a 2,31.

Il grafico della potenza con i parametri

= 2;     = 12;     = 0.05;     = 2,31

 fornisce l’indicazione  = 0,89.

 

ESEMPIO 3  (POTENZA PER L’INTERAZIONE) Nel disegno sperimentale presentato, valutare la potenza del test per l’interazione per   e  a = 0.05  e con le dimensioni   = 4,    = 3,    = 2 come risulta dalla tabella presentata.

 

Risposta. Nell’ipotesi H₁ che una delle interazioni sia uguale a ,

 

 

il valore di  risulta uguale a 2,14.

Il grafico della potenza con i parametri

= 6;     = 12;     = 0.05;     = 2,14

 fornisce l’indicazione  = 0,92.

 

E’ importante osservare che la probabilità di trovare significativo uno dei tre test che si possono condurre con i dati raccolti nel medesimo esperimento è sensibilmente differente, in quanto diversamente legate

-  alle dimensioni del fattore in esame,  per il calcolo del valore di ,

-  alle dimensioni dei gradi di libertà, per individuare nel grafico il valore di .