analisi FATTORIALE E  disegni complessi

CON FATTORI INCROCIATI

 

 

 

12.7.   ESPERIMENTI FATTORIALI CON P FATTORI A K LIVELLI

 

 

Con p fattori a k livelli, il modello additivo dei vari fattori e delle loro interazioni resta immutato, nei principi e nelle modalità di interpretazione, rispetto a quello presentato per esperimenti 2³; ma diventa più complesso il calcolo delle devianze. Come dimostrazione, facilmente estensibile a un esperimento di dimensioni superiori, si può utilizzare un esempio a tre fattori, di cui

-          il primo (A) a 3 livelli,

-          il secondo (B) a 4 livelli,

-          il terzo (Sesso) a 2 livelli o modalità

 con tre repliche per ognuno dei 24 (3 x 4 x 2) gruppi e quindi 72 dati.

 

Per gli effetti principali, il calcolo delle devianze è identico a quello già ripetutamente presentato.

 

Per l’interazione tra due fattori, si crea una tabella a due entrate di somme e si calcola la devianza relativa; per ottenere la devianza d’interazione e i suoi df, si sottraggono a questa ultima devianza quelle stimate per i singoli fattori.

 

Per l’interazione a tre fattori, si costruisce la tabella a tre entrate delle somme e si calcola la devianza relativa. Per ottenere la devianza d’interazione dei 3 fattori, al valore precedentemente calcolato si sottraggono sia le 3 devianze d’interazione a due fattori che le 3 degli effetti principali.

Per i df si segue lo stesso metodo.

 

Con i dati

 

 

- la devianza totale è ottenuta come al solito a partire dagli scarti di ogni valore dalla media generale o con la formula abbreviata; il suo valore è 11,1329 ed ha 71 df;

 

- la devianza del fattore A è ottenuta dal confronto delle 3 medie di colonna: è uguale a 1,3086 ed ha 2 df;

 

- la devianza del fattore B è ottenuta dal confronto delle 4 medie di riga: è uguale a 1,2850 ed ha 3 df;

 

- la devianza del fattore sesso è ottenuta dal confronto tra le 2 medie relative: è uguale a 4,4006 ed ha 1 df.

Successivamente,

- per la devianza d’interazione AB, si deve dapprima calcolare la tabella delle somme dei fattori A e B, ignorando la distinzione tra sessi.

 

 

 

Mediante le 12 somme (ognuna è la somma di 6 valori, 3 per ogni sesso come evidenziato nella tabella dei dati sperimentali) riportate nelle caselle all’incrocio dei 3 livelli di A e dei 4 livelli di B, si ottiene

- la devianza tra le medie dei 12 trattamenti

(6,8² + 7,6² + 5,9² + 7,2² + 8,2² + 9,9² + 6,4² + 9,6² + 5,4² + 7,4² + 6,9² + 7,3²)/6 - 88,6²/72 =

(46,24 + 57,76 + 34,81 + 51,84 + 67,24 + 98,01 + 40,96 + 92,16 + 29,16 + 54,76 + 47,61 + 53,29)/6  -  7849,96/72  =  673,79/6 - 7849,96/72  =  112,3066 - 109,0272  =  3,2794

che risulta uguale a 3,2794 con 11 df.

 

La devianza d’interazione A x B ed i suoi df sono stimati mediante la differenza

Dev. tra i trattamenti AB  -  Dev. A  -  Dev. B  =  Dev. d’interazione A x B

che, con i dati dell’esempio,

3,2794 -  1,3086 - 1,2850  =  0,6858

risulta uguale a 0,6858 con

11 - 2 - 3  =  6

6 df.

Come già dimostrato nei paragrafi precedenti con 2 fattori, questa devianza può essere ottenuta mediante la somma degli scarti al quadrato tra le 12 medie osservate e le medie attese, nell’ipotesi che non esista interazione. Poiché le medie attese sono stimate dai totali marginali, nella tabella sopra-riportata di dimensioni 4 x 3 i df dell’interazione sono 3 x 2 = 6 come ottenuto mediante il metodo delle differenze.

Questo metodo può essere esteso alle 2 devianze d’interazione successive.

Per misurare la devianza d’interazione A  x  Sesso, si devono dapprima calcolare le somme relative a questi due fattori, come nella tabella sottostante, ignorando l’effetto del fattore B

 

 

 

 

La devianza dei trattamenti riportati nelle 6 caselle, in cui ogni valore è la somma di 12 osservazioni (4 trattamenti per 3 repliche), con la formula abbreviata è

(16,7² + 10,8² + 21,2² + 12,9² + 15,3² + 11,7²)/12 - 88,6²/72 =

(278,89 + 116,64 + 449,44 + 166,41 + 234,09 + 136,89)/12 - 7849,96/72 =

1382,36/12 - 7849,96/72  =  115,1967 - 109,0272  = 6,1695

e risulta uguale a 6,1695 con 5 df.

 

La devianza d’interazione A x Sesso  e i suoi gdl sono ottenuti rapidamente per differenza

Dev. dei trattamenti A x Sesso  -  Dev. A  -  Dev. Sesso  =  Dev. d’interazione A x Sesso

Con i dati dell’esempio,

6,1695 - 1,3086 - 4,4006 = 0,4603

si ottiene una devianza d’interazione uguale a 0,4603 con

5 - 2 - 1 = 2

2 df.

 

Nello stesso modo, per la devianza d’interazione B x Sesso si costruisce la tabella relativa, in cui i dati delle 8 caselle sono le somme di 9 dati (3 livelli del fattore A per 3 repliche)

 

 

 

 

La devianza dovuta alle differenze tra le 8 medie di casella con la formula abbreviata

(11,6² + 8,8² + 15,3² + 9,6² + 12,4² + 6,8² + 13,9² + 10,2²)/9  -  88,6²/72  =

 (134,56 + 77,44 + 234,09 + 92,16 + 153,76 + 46,24 + 193,21 + 104,04)/9  -  7849,96/9 =

1035,5/9 - 7849,96/72  =  115,0556 - 109,0272  =  6,0284

risulta uguale a 6,0284 e i suoi df sono 7.

 

La devianza d’interazione B x sesso, ottenuta per differenza,

Dev. dei trattamenti B x sesso  -  Dev. B -  Dev. sesso  =  Dev. d’interazione B x sesso

con i dati dell’esempio

6,0284 - 1,285 - 4,4006  =  0,3428

risulta uguale a 0,3428 e i suoi df

7 - 3 - 1 = 3

sono 3.

 

Per l’interazione di secondo ordine o a 3 fattori occorre costruire la tabella a 3 fattori

 

 

 

 per la quale sono possibili varie soluzioni, tra cui quella sotto-riportata, in due passaggi :

 

1 - La devianza che considera contemporaneamente le medie dei 3 fattori (ognuno con 3 repliche) con la formula abbreviata

(3,9² + 5,2² + 3,6² + 4,0² + 4,5² + 6,0² + 4,4² + 6,3² + 3,2² + 4,1² + 4,4² + 3,6² + 2,9² +2,4² +

2,3² + 3,2² + 3,7² + 3,9² + 2,0² + 3,3² + 2,2² + 3,3² + 2,5² + 3,7²)/3 - 88,6²/72  =

355,04/3  -  7849,96/72  =  118,3467 - 109,0272  =  9,3195

risulta uguale a 9,3195 ed ha 23 df.

 

2 - La devianza d’interazione dei tre fattori è ottenuta per sottrazione da questa ultima stima di tutte le precedenti già stimate

Dev.  tra medie di caselle  -  (Dev.  A  +  Dev.  B  +  Dev.  Sesso  +  Dev.  A x B  +

    +  Dev.  A x Sesso  +  Dev.  B x Sesso)  =  Dev.  A x B x Sesso

Con i dati dell’esempio,

9,3195 – (1,3086 + 1,2850 + 4,4006 + 0,6858 + 0,4603 + 0,3428 )  =  0,8634

risulta uguale a 0,8634

e i suoi df

23 – (3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 6)  =  6

sono 6.

Per una visione generale ed una sintesi, i risultati ottenuti dai calcoli qui presentati sono di norma riportati in una tabella riassuntiva:

 

 

 

 in cui i dati non in grassetto (quelli riferiti alle tabelle a due fattori) non sono riportate negli output dei programmi informatici, in quanto utili solo al calcolo manuale.

Gli unici dati riferiti a una tabella che vengono riportati sono quelli della tabella dei 3 fattori, poiché tutte le devianze successive sono una sua scomposizione.

Per l’interpretazione delle interazioni è utile ricorrere alle tabelle relative in cui sono riportate le medie osservate e quelle attese nell’ipotesi di assenza d’interazione, oppure alla rappresentazione grafica, come già illustrato nei paragrafi precedenti.