METODI NON PARAMETRICI PER DUE CAMPIONI INDIPENDENTI

 

 

 

 

9.15. CONFRONTO TRA DUE DISTRIBUZIONI OSSERVATE: IL METODO DI  KOLMOGOROV-SMIRNOV PER 2 CAMPIONI INDIPENDENTI CON DATI ORDINALI DISCRETI O A GRUPPI E CON DATI CONTINUI

 

 

Una tabella  , in cui siano riportate le classi di frequenza di due distribuzioni osservate, può essere analizzata mediante il test di Kolmogorov-Smirnov. A differenza del test  e del test G, come condizione di validità non richiede che il numero minimo di osservazioni sia N > 30 e che in ogni classe sia  ³ 5.

Il test di Kolmogorov-Smirnov, necessario per piccoli campioni, è utile anche per grandi campioni, quando si abbia un numero elevato di classi od intervalli, poiché in tali condizioni ha una potenza maggiore del test chi quadrato e del test G. Ovviamente la potenza massima è con dati in una scala continua, che rappresenta la proposta originale di Kolmogorov e Smirnov.

Le distribuzioni di frequenza possono riguardare qualunque variabile, da quelle classiche di peso ed altezza, per le quali possono essere applicati anche test parametrici, Alle misure espresse come rapporti, percentuali, valori angolari, colorazioni, indici, punteggi assoluti o relativi, ecc., purché esse possano essere tradotte in ranghi, cioè ordinate per dimensioni o intensità.

 

Le indicazioni bibliografiche sono uguali a quelle già riportate nel test di Kolmogorov-Smirnov per un campione. Differiscono le indicazioni per le tabelle dei valori critici, che ovviamente per il metodo ora illustrato devono considerare una casistica più complessa, in particolare se i due campioni non sono bilanciati.

 

Il test di Kolmogorov-Smirnov per due campioni indipendenti è utilizzato per verificare l’ipotesi alternativa se le distribuzioni di frequenza di due campioni appartengano a popolazioni differenti.

E’ un test generalista, cioè permette di valutare la significatività complessiva dovuta a differenze

-          sia nella tendenza centrale,

-          sia nella dispersione,

-          sia nella simmetria e,

-          sebbene in modo meno evidente, nella curtosi.

Non è un test specifico per nessuno di questi fattori. Quindi non deve essere utilizzato se l’ipotesi verte su un parametro specifico, come la media e la varianza oppure la simmetria. Tuttavia non tutti i parametri pesano nello stesso modo; è più sensibile alle differenze nelle tendenze centrali, perché incidono sulla differenza complessiva tra le due distribuzioni in modo più marcato.

Se il test risulta significativo, per individuare con esattezza quale caratteristica della distribuzione determini la differenza riscontrata, occorre di conseguenza ricorrere anche all’uso di altri test, che ne verifichino solamente una e che, ovviamente, per quell’uso specifico sono più potenti.

Sotto l’aspetto della ricerca applicata, è utile quando si intende verificare se due serie di valori possono o meno appartenere alla stessa popolazione. Infatti, se hanno origine diversa, è logico supporre che le due serie di dati campionari differiscano in almeno un parametro, senza che a priori sia noto quale.

Il test di Kolmogorov-Smirnov per due campioni può essere utilizzato

-          sia con dati misurati su una scala ordinale discreta o con dati continui raggruppati in classi,

-          sia con dati continui di una scala di rapporti oppure a intervalli oppure ordinale.

 

 

PER DATI DISCRETI O RAGGRUPPATI

Tra i testi internazionali, questo metodo è riportato in

-          Siegel Sidney e N. John jr. Castellan del 1988 (Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences, (McGraw-Hill, London), tradotto in italiano nel 1992 Statistica non parametrica 2° ed., McGraw-Hill Libri Italia, Milano, 472 pp.)

 del quale sono seguite le indicazioni nella presentazione del metodo e della logica.

 

In modo analogo al test per un campione, questo per 2 campioni richiede

-          che dapprima sia effettuata la trasformazione delle frequenze assolute in frequenze relative entro ogni campione, mediante il rapporto della frequenza di ogni classe con il numero totale di osservazioni;

-          successivamente, che entro gli stessi intervalli sia attuato il confronto tra le due frequenze cumulate, per quantificare la deviazione o differenza massima.

 

Sulla base dell’ipotesi formulata, se unilaterale oppure bilaterale, la differenza massima può essere considerata con il segno oppure in valore assoluto.

Indicando con O1() ogni valore della sommatoria dei dati osservati nel primo campione e con O2() ogni valore della sommatoria dei dati osservati nel secondo campione,

-          nel caso di un test ad una coda si deve calcolare la deviazione massima D con il segno

D = diff. mass. ( O1(Xi) - O2(Xi) )

 

-          per un test a due code non è importante conoscere la direzione della differenza; lo scarto massimo è quindi calcolato in valore assoluto

D = diff. mass. | O1(Xi) - O2(Xi) |

 

Nel caso di piccoli campioni, quando le due distribuzioni hanno al massimo 25 osservazioni (altri testi definiscono i campioni come piccoli fino ad un massimo di 40 osservazioni), si può ricorrere a tabelle specifiche per verificare se la differenza massima tra le cumulate delle frequenze relative supera il valore critico e quindi sia significativa. Sulle tabelle di significatività, le proposte in letteratura sono numerose, in quanto questo test è stato tra quelli che hanno suscitato un dibattito scientifico maggiore. Quelle riportate in queste dispense sono tra le più semplici.

 

Il valore da confrontare (J) è ottenuto moltiplicando la differenza massima D per le dimensioni dei due campioni n1 e n2.

J =

I valori critici sono differenti

-          per test a una coda, riportati nella prima tabella 

-          per test a due code, riportati nella seconda tabella.

 

La loro impostazione è uguale. Per il loro uso, ricordare che

-          sulla prima riga si trova il numero di osservazioni del primo () campione e sulla prima colonna il numero di osservazioni del secondo () campione,

-          alla loro intersezione si trovano i tre valori J critici in colonna, associati rispettivamente dall’alto al basso alla probabilità a = 0.10, alla probabilità a = 0.05 e a quella a = 0.01.

Il valore J calcolato (J =  D× n1 × n2 ) indica una differenza significativa quando è uguale o superiore a quello critico riportato nella tabella. 

 

Nel caso di un test ad una coda, per esempio

-          con 10 osservazioni nel campione 1 e con 12 osservazioni nel campione 2, la differenza tra le due distribuzioni cumulate è significativa

-          alla probabilità a = 0.10 quando J ³ 52,

-          alla probabilità a = 0.05 quando J ³ 60, 

-          alla probabilità a = 0.01 quando J ³ 74.

 

E’ possibile osservare che la distribuzione dei valori critici è simmetrica. Alle stesse probabilità sono identici, quando si hanno 12 osservazioni nel campione 1 e 10 osservazioni nel campione 2.

 


Valori critici (J) nel test, ad una coda, di Kolmogorov-Smirnov per 2 campioni indipendenti.

Il valore superiore è per a = 0.10; quello centrale per a = 0.05 e quello inferiore per a = 0.01.

 

 

 

n2

n1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

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25

3

9

10

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15

15

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22

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30

30

32

36

36

37

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40

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45

46

 

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10

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34

35

39

40

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45

46

47

51

52

 

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**

**

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33

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43

43

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24

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24

26

32

29

32

34

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40

41

48

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48

49

56

53

 

10

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16

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21

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36

33

38

38

44

44

46

49

52

52

56

57

60

61

 

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17

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32

29

34

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40

41

46

46

52

53

56

57

64

64

66

69

76

73

5

11

13

20

19

21

23

26

30

30

32

35

37

45

41

44

46

47

55

51

54

56

58

65

 

13

16

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24

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35

35

36

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50

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51

56

60

60

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65

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75

 

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60

56

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75

75

76

81

82

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6

15

16

19

24

24

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32

33

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37

42

45

48

49

54

54

56

60

62

63

72

67

 

15

18

21

30

25

30

33

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38

48

43

48

51

54

56

66

61

66

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70

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78

78

 

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31

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54

54

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96

96

7

15

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56

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70

70

71

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8

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50

52

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57

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64

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71

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81

 

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9

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51

51

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87

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51

57

57

63

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80

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94

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101

 

27

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36

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46

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63

61

62

69

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77

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99

99

103

111

111

117

123

124

10

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30

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43

50

48

52

55

60

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80

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100

 

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101

106

110

 

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104

104

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100

 

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138

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105

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120

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157

160

190

171

183

189

197

204

211

20

37

48

55

56

61

72

73

90

84

92

95

100

110

112

113

120

125

140

134

138

143

152

155

 

41

52

60

66

72

80

83

100

95

104

108

114

125

128

130

136

144

160

154

160

163

172

180

 

52

64

75

80

87

100

103

120

117

128

135

142

150

156

162

170

171

200

193

196

203

212

220

21

42

45

51

60

70

71

78

80

85

93

97

112

111

114

118

126

128

134

147

142

147

156

158

 

45

52

60

69

77

81

90

91

101

108

112

126

126

130

135

144

147

154

168

163

170

177

182

 

54

64

75

84

98

100

111

118

124

132

138

154

156

162

168

177

183

193

210

205

212

222

225

22

40

48

54

62

68

74

79

86

99

98

100

108

111

118

122

128

132

138

142

176

151

158

163

 

46

56

62

70

77

84

91

98

110

110

117

124

130

136

141

148

151

160

163

198

173

182

188

 

55

66

76

88

97

106

111

120

143

138

143

152

160

168

175

184

189

196

205

242

217

228

234

23

43

49

56

63

70

76

82

88

95

100

105

110

117

122

128

133

137

143

147

151

184

160

169

 

47

57

65

73

79

89

94

101

108

113

120

127

134

140

146

151

159

163

170

173

207

183

194

 

58

69

81

91

99

107

117

125

132

138

150

157

165

174

181

189

197

203

212

217

253

228

242

24

45

56

58

72

72

88

87

92

98

108

109

116

123

136

132

144

142

152

156

158

160

192

178

 

51

60

67

78

83

96

99

106

111

132

124

132

141

152

150

162

162

172

177

182

183

216

204

 

63

76

82

96

103

120

123

130

138

156

154

164

174

184

187

198

204

212

222

228

228

264

254

25

46

53

65

67

74

81

88

100

100

106

111

119

130

130

137

142

148

155

158

163

169

178

200

 

52

61

75

78

85

95

101

110

116

120

131

136

145

148

156

161

168

180

182

188

194

204

225

 

64

73

90

96

106

118

124

140

143

153

160

169

180

185

192

201

211

220

225

234

242

254

275


Valori critici nel test, a due code, di Kolmogorov-Smirnov per 2 campioni indipendenti.

Il valore superiore è per a = 0.10; quello centrale per a = 0.05 e quello inferiore per a = 0.01.

 

 

n2-

 

n1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

20

21

22

23

24

25

2

 

 

 

 

10

12

14

16

18

18

20

22

24

24

26

28

30

32

32

34

36

38

38

40

42

 

 

 

 

 

 

 

 

16

18

20

22

24

26

26

28

30

32

34

36

38

38

40

42

44

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

40

42

44

46

48

50

3

 

 

9

12

15

15

18

21

21

24

27

27

30

33

33

36

36

39

42

42

45

48

48

51

54

 

 

 

 

 

15

18

21

21

24

27

30

30

33

36

36

39

42

45

45

48

51

51

54

57

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

30

33

36

39

42

42

45

48

51

54

57

57

60

63

66

69

4

 

 

12

16

16

18

21

24

27

28

29

36

35

38

40

44

44

46

49

52

52

56

57

60

63

 

 

 

0

16

20

20

24

29

28

30

33

36

39

42

44

48

48

50

53

60

59

62

64

68

68

 

 

 

 

 

 

24

28

32

36

36

40

44

48

48

52

56

60

60

64

68

72

72

76

80

84

5

 

10

15

16

20

24

25

27

30

35

35

36

46

42

50

48

50

52

56

60

60

63

65

67

75

 

 

 

15

20

25

24

28

30

35

40

39

43

45

46

55

54

55

60

61

65

69

70

72

76

80

 

 

 

 

 

25

30

35

35

40

45

45

50

52

56

60

64

68

70

71

80

80

83

87

90

95

6

 

12

15

18

24

30

28

30

33

36

38

48

46

48

51

54

56

66

64

66

69

70

73

78

78

 

 

 

18

20

24

30

30

34

39

40

43

48

52

54

57

60

62

72

70

72

75

78

80

90

88

 

 

 

 

24

30

36

36

40

45

48

54

60

60

64

69

72

73

84

83

88

90

92

97

102

107

7

 

14

18

21

25

28

35

34

36

40

44

46

50

56

56

59

61

65

69

72

77

77

80

84

86

 

 

 

21

24

28

30

42

40

42

46

48

53

56

63

62

64

68

72

76

79

91

84

89

92

97

 

 

 

 

28

35

36

42

48

49

53

59

60

65

77

75

77

84

87

91

93

105

103

108

112

115

8

 

16

21

24

27

30

34

40

40

44

48

52

54

58

60

72

68

72

74

50

81

84

89

96

95

 

 

16

21

28

30

34

40

48

46

48

53

60

62

64

67

80

77

80

82

88

89

94

98

104

104

 

 

 

 

32

35

40

48

56

55

60

64

68

72

76

81

88

88

94

98

104

107

112

115

128

125

9

 

18

21

27

30

33

36

40

54

50

52

57

59

63

69

69

74

81

80

84

90

91

94

99

101

 

 

18

24

28

35

39

42

46

54

53

59

63

65

70

75

78

82

90

89

93

99

101

106

111

114

 

 

 

27

36

40

45

49

55

63

63

70

75

78

84

90

94

99

108

107

111

117

122

126

132

135

10

 

18

24

28

35

36

40

44

50

60

57

60

64

68

75

76

79

82

85

100

95

98

101

106

110

 

 

20

27

30

40

40

46

48

53

70

60

66

70

74

80

84

89

92

94

110

105

108

114

118

125

 

 

 

30

36

45

48

53

60

63

80

77

80

84

90

100

100

106

108

113

130

126

130

137

140

150

11

 

20

27

29

35

38

44

48

52

57

66

64

67

73

76

80

85

88

92

96

101

110

108

111

117

 

 

22

30

33

39

43

48

53

59

60

77

72

75

82

84

89

93

97

102

107

112

121

119

124

129

 

 

 

33

40

45

54

59

64

70

77

88

86

91

96

102

106

110

118

122

127

134

143

142

150

1545

12

 

22

27

36

36

48

46

52

57

60

64

72

71

78

84

88

90

96

99

104

108

110

113

132

120

 

 

24

30

36

43

48

53

60

63

66

72

84

81

86

93

96

100

108

108

116

120

124

125

144

138

 

 

 

36

44

50

60

60

68

75

80

86

96

95

104

108

116

119

126

130

140

141

148

149

168

165

13

 

24

30

35

40

46

50

54

59

64

67

71

91

78

87

91

96

99

104

108

113

117

120

125

131

 

 

26

33

39

45

52

56

62

65

70

75

81

91

89

96

101

105

110

114

120

126

130

135

140

145

 

 

 

39

48

52

60

65

72

78

84

91

95

117

104

115

121

127

131

138

143

150

156

161

166

172

14

 

24

33

38

42

48

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58

63

68

73

78

78

98

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96

100

104

110

114

126

124

127

132

136

 

 

26

36

42

46

54

63

64

70

74

82

86

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112

98

106

111

116

121

126

140

138

142

146

150

 

 

 

42

48

56

64

77

76

84

90

96

104

104

126

123

126

134

140

148

152

161

164

170

176

182

15

 

26

33

40

50

51

56

60

69

75

76

84

87

92

105

101

105

111

114

125

126

130

134

141

145

 

 

28

36

44

55

57

62

67

75

80

84

93

96

98

120

114

116

123

127

135

138

144

149

156

160

 

 

 

42

52

60

69

75

81

90

100

102

108

115

123

135

133

142

147

152

160

168

173

179

186

195

16

 

28

36

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48

54

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72

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76

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91

96

101

112

109

116

120

128

130

136

141

152

149

 

 

30

39

48

54

60

64

80

78

84

89

96

101

106

114

128

124

128

133

140

145

150

157

168

167

 

 

 

45

56

64

72

77

88

94

100

106

116

121

126

133

160

143

154

160

168

173

180

187

200

199

17

 

30

36

44

50

56

61

68

74

79

85

90

96

100

105

109

136

118

126

132

136

142

146

151

156

 

 

32

42

48

55

62

68

77

82

89

93

100

105

111

116

124

136

133

141

146

151

157

163

168

173

 

 

 

48

60

68

73

84

88

99

106

110

119

127

134

142

143

170

164

166

175

180

187

196

203

207

18

 

32

39

46

52

66

65

72

81

82

88

96

99

104

111

116

118

144

133

136

144

148

152

162

162

 

 

34

45

50

60

72

72

80

90

92

97

108

110

116

123

128

133

162

142

152

159

164

170

180

180

 

 

 

51

60

70

84

87

94

108

108

118

126

131

140

147

154

164

180

176

182

189

196

204

215

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19

19

32

42

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104

110

114

120

126

133

152

144

147

152

159

164

168

 

 

36

45

53

61

70

76

82

89

94

102

108

114

121

127

133

141

142

171

160

163

169

177

183

187

 

 

38

54

64

71

83

91

98

107

113

122

130

138

148

152

160

166

176

190

187

199

204

209

218

224

20

20

34

42

52

60

66

72

80

84

100

96

104

108

114

125

128

132

136

144

160

154

160

164

172

180

 

 

38

48

60

65

72

79

88

93

110

107

116

120

126

135

140

146

152

160

180

173

176

184

192

200

 

 

40

57

68

80

88

93

104

111

130

127

140

143

152

160

168

175

182

187

220

199

212

219

228

235

21

21

36

45

52

60

69

77

81

90

95

101

108

113

126

126

130

136

144

147

154

168

163

171

177

182

 

 

38

51

59

69

75

91

89

99

105

112

120

126

140

138

145

151

159

163

173

189

183

189

198

202

 

 

42

57

72

80

90

105

107

117

126

134

141

150

161

168

173

180

189

199

199

231

223

227

237

244

22

22

38

48

56

63

70

77

84

91

98

110

110

117

124

130

136

142

148

152

160

163

198

173

182

189

 

 

40

51

62

70

78

84

94

101

108

121

124

130

138

144

150

157

164

169

176

183

198

194

204

209

 

 

44

60

72

83

92

103

112

122

130

143

148

156

164

173

180

187

196

204

212

223

242

237

242

250

23

23

38

48

57

65

73

80

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94

101

108

113

120

127

134

141

146

152

159

164

171

173

207

183

195

 

 

42

54

64

72

80

89

98

106

114

119

125

135

142

149

157

163

170

177

184

189

194

230

205

216

 

 

46

63

76

87

97

108

115

126

137

142

149

161

170

179

187

196

204

209

219

227

237

253

249

262

24

24

40

51

60

67

78

84

96

99

106

111

132

125

132

141

152

151

162

164

172

177

182

193

216

204

 

 

44

57

68

76

90

92

104

111

118

124

144

140

146

156

168

168

180

183

192

198

204

205

240

225

 

 

48

66

80

90

102

112

128

132

140

150

168

166

176

186

200

203

216

218

228

237

242

249

288

262

25

25

42

54

63

75

78

86

95

101

110

117

120

131

136

145

149

156

162

168

180

182

189

195

204

225

 

 

46

60

68

80

88

97

104

114

125

129

138

145

150

160

167

173

180

187

200

202

209

216

225

250

 

 

50

69

84

95

107

115

125

135

150

154

165

172

182

195

199

207

216

224

235

244

250

262

262

300

 


Anche nel caso di grandi campioni, si devono calcolare valori critici differenti se l’ipotesi è a una coda oppure a due code.

 

Se il test è a una coda, secondo la proposta di L. A. Goodman del 1954 (vedi Kolmogorov-Smirnov tests for psychological research in Psychological Bulletin  Vol. 51, pp. 160-168)

il valore critico viene determinato

 mediante 

c2(2)   = 

 

 che ha una distribuzione bene approssimata dal c2 con 2 gradi di libertà.

 

Se il test è a due code, il valore critico

 

-          alla probabilità a = 0.05  è dato da

1,36 ×

 

-          alla probabilità a = 0.01 è

1,63 ×

 

-          alla probabilità a = 0.005 è

1,73 ×

 

-          alla probabilità a = 0.001 è

1,95 ×

 

Alcuni esempi illustrano la metodologia in modo semplice, ma completo nei suoi passaggi logici.


 

 

ESEMPIO 1. (CAMPIONI PICCOLI)

Mediante le cartine al tornasole è possibile misurare il pH di alcuni campioni d’acqua. Metodi analoghi di colorazione vengono usati per confrontare la quantità di fosfati e di nitrati.

Su una scala ordinale con intensità crescente, suddivisa in 8 livelli, sono state riportate le frequenze osservate durante una giornata di rilevazioni in due serie differenti di campioni, raccolti all’ingresso ed all’uscita di un depuratore.

All’ingresso sono stati raccolti 10 campioni e all’uscita 12 campioni, secondo la distribuzione dei valori riportata nella tabella sottostante.

  

DISTRIBUZIONE OSSERVATA

 

Intensità della colorazione

 

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

Ingresso

0

0

0

3

6

0

1

0

Uscita